Wagen geht aus und springt erstmal nicht mehr an

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Hallo Liebe Community
Ich bin 22 Jahre alt, komme aus Hamburg und habe mir
vor 2 Wochen mein 6. Auto (Mein 3. BMW) gekauft und habe direkt ein großes Problem:
(Ich versuche es mal kurz und einigermaßen knapp zu beschreiben:
-Wagen abgeholt, 2 Tage später und nach 300km Fahrt ging der Motor aus (An einer Ampel)
-Nach ca. 2 Min Sprang er wieder an, im Leerlauf ist er auch gebleiben, habe ich Gas gegeben konnte ich solange fahren bis ich auskuppelte dann ging er direkt wieder aus und sprang wieder für ca. 2 min. nicht an.
Das ganze weitere 3-4mal.
-Dann habe ich am Sicherungskasten VR im Motorraum gerüttelt und unter der Rücksitzbank auf den Tank geschlagen und dann lief er wieder ganz normal.
-Einen Tag später wollte ich mit dem Wagen los fahren doch er sprang unter keinen Umständen an und ich musste mit einem anderen Auto fahren.
-Heute wollte ich mit dem Multimeter runter und Ströme messen, bevor ich irgendwas gemessen habe versuchte ich den Motor zu starten und siehe da, er sprang sofort an.
Bin dann 15km damit gefahren bis er beim schnellen Beschleunigen einmal einen dickes Aussetzer hatte (Fühlte sich an wie kein Kraftstoff (Für ca. 0,5 Sek.) dann beschleunigte er weiter, doch an der nächsten Ampel ging er wieder aus.
Als er dann nach 2 min. wieder ansprang konnte ich mit gehaltenem Gas noch fahren, bis ich Auskuppelte und er dann wieder aus ging.

Habt ihr einen Verdacht?
Und direkt mal die Frage, wo bzw. welches ist das Kraftstoffpumpenrelai ?
Manche sagen im Motorraum VR das Weiße, andere sagen bei der Batterie hinten das Mintgrüne? Ich habe dort aber nur ein Dunkel Grünes und ein paar Weitere: